יוסי לונקה

המתמטיקה של הכסף

יוסי לונקה
נוסחת בלק-שולס היא אחת הנוסחאות החשובות בכלכלה המודרנית, שהמציאה למעשה שוק פיננסי חדש.

נוסחת בלק-שולס היא אחת הנוסחאות החשובות בכלכלה המודרנית, שהמציאה למעשה שוק פיננסי חדש. אז מה בעצם אומרת הנוסחה שכל בנק וסוחר בעולם משתמשים בה – ולמה היא לפעמים גם מסוכנת
נוסחת בלק-שולס לתמחור אופציות הינה אחת הנוסחאות החשובות – אם לא החשובה ביותר – בכלכלה פיננסית מודרנית. לצד השפעה מרחיקת לכת על שכלול המסחר בנגזרים, מסמלת הנוסחה במידה רבה את לידתו של התחום הקרוי מתמטיקה פיננסית, שהפך למקצוע אקדמי לכל דבר וקנה לעצמו מקום קבוע בפקולטות למתמטיקה באוניברסיטאות הטובות ביותר בעולם.
בלק ושולס המציאו את הנוסחה שלהם בשנת 1973. מאוחר יותר תרם מרטון הרחבה מתמטית משמעותית. מצידה המעשי, הודות לתרומתם של בלק ושולס, איפשרה הנוסחה שערוך יום-יומי של אופציות לפני פקיעתן, ובכך יצרה למעשה שוק ענק לאופציות. מצידה התיאורטי, הודות לתרומתו של מרטון, עוררה הנוסחה עניין רב בקהילה האקדמית, במיוחד בקרב מתמטיקאים ופיזיקאים, שהקשרים שהצביע עליהם מרטון נגעו במישרין לתחומי התמחותם.

הנוסחה היתה כל כך אפקטיבית, עד שזיכתה את מחבריה בפרס נובל לכלכלה. כאשר הוענק הפרס לשולס ומרטון בשנת 1997, נימקה האקדמיה המלכותית השבדית למדעים את ההחלטה להעניק להם את הפרס, בין השאר על ידי הדברים הבאים:

ר. מרטון ומ. שולס, בשיתוף פעולה עם פ. בלק, פיתחו נוסחה חלוצית לשערוך אופציות. המתודולוגיה שלהם סללה את הדרך לשיערוכים כלכליים בתחומים רבים. כמו כן היא ייצרה סוגים חדשים של מכשירים פיננסיים והקלה על ניהול סיכונים יעיל יותר בחברה…. בלק, מרטון ושולס יצקו את היסודות לצמיחה מהירה של שוק הנגזרים בעשור שבין 1987 ל-1997.”

כל מודל מתמטי של המציאות מתבסס על הפשטות והנחות. נוסחת בלק-שולס מבוססת על תורת המחירים, ועל עקרון האין-ארביטראז’, ומניחה שסטיית התקן והתוחלת של שיעור השינוי הינם גדלים קבועים. הנחה זו רווחת בתורה הפיננסית, אבל לעתים קרובות אינה עומדת במבחן המציאות. הנוסחה מניחה גם שאין עלויות נוספות בביצוע הקניה או המכירה, כמו עמלות וכד’, שאפשר למכור בחסר ללא הגבלה, ושתמיד אפשר ללוות ולהלוות כסף בריבית ידועה, קבועה וחסרת סיכון. שוב, המציאות עשויה להיות שונה למדי.

תנודות גדולות בשוק ההון הרבה יותר שכיחות ממה שההנחות המתמטיות של נוסחת בלק-שולס מתירות לנבא. אפשר לומר שבבסיס המודל מצויה הנחה לא מציאותית – התעלמות ממשברים פתאומיים הפוקדים את העולם ללא כל התראה מוקדמת. בדרך כלל המודל של בלק שולס תיפקד היטב, ובחלוף הזמן גדל הבטחון בו, ובנקים וסוחרים רבים שכחו שלמודל יש מגבלות, הנחות והפשטות.

הם השתמשו בנוסחה כי כולם השתמשו בה, כי הרגולטורים ברחבי העולם דרשו מודלים, וכי לא היתה סיבה להפסיק להשתמש בה. בנקים וקרנות גידור עד מהרה החלו לסחור בנגזרים מורכבים ביותר, כמו חוזים המבטחים מפני כשלי אשראי, בכמויות עצומות. נגזרים אלה תומחרו באמצעות המנגנון של בלק ושולס והתייחסו אליהם כאל נכסים בפני עצמם. זאת אומרת, שניתן היה להשתמש בהם כבטחונות להשקעות אחרות.

הכל הסתבך יותר, והמודלים בהם השתמשו לאמידת ערך וסיכון התרחקו עוד יותר מהמציאות. איפשהו מאחורי הכל היו גם נכסים אמיתיים, כמו בתים – שערכם, כפי שכולנו מבינים היטב לאחר משבר המשכנתאות, עלול גם לרדת.

המציאות מורכבת מדי ומסובכת מדי – ויתכן שאף דטרמיניסטית מדי – בכדי שיהיה אפשר לתאר אותה באופן הולם באמצעות מודל מתמטי, כל שכן מודל סטוכסטי. עם זאת, שוק ההון לא יכול לתפקד ללא מודלים, ונראה שנוסחת בלק-שולס תמשיך להיות חלק בלתי נפרד מכל מחשבון פיננסי, בכל בנק.

 _____________________________________________________

ארביטראז‘: ניצול פער בין שני מחירים שונים בשווקים שונים של אותו נכס, למטרות רווח.

עיקרון אין-ארביטראז’: העיקרון לפיו לא ניתן לנצל פערי ארבירטראז’.

ריבית חסרת סיכון: ריבית מובטחת להשקעה שאינה נושאת כל סיכון. לדוגמה, השקעה במק”מ נחשבת כחסרת סיכון, ולכן ריבית המק”מ הינה ריבית חסרת סיכון.

חוזים המבטחים מפני כשלי אשראי: נגזרי-אשראי מאד פופולאריים, הנקראים cds – credit default swap. צד א’ (המבוטח) משלם לצד ב’ (המבטח) תשלומים תקופתיים תמורת הגנה מפני חדלות פירעון של צד ג’.

מודל סטוכסטי: מודל מתמטי המניח כי גודל השינויים אינו ידוע בוודאות, אלא רק התפלגות ערכים אפשריים שלו ידועה.

מודל דטרמיניסטי: מודל מתמטי המניח כי גודל השינוי ידוע בוודאות. למשל: החוק השני של ניוטון.

שדות חובה מסומנים בכוכבית

תגובתך הועברה לצוות לאומי בלוג ותפורסם לאחר אישורה.

האם אתה מסכים?